TEST 3 Optymalizacja

To zadanie nie jest tylko o podstawieniu do wzoru na pole prostopadłościanu. Najpierw trzeba zrozumieć, co oznacza warunek o stosunku krawędzi podstawy i jak połączyć go z objętością.

Najpierw opisujemy wymiary, potem układamy funkcję pola, a dopiero na końcu szukamy minimum.

Treść zadania

Rozważmy wszystkie prostopadłościany o objętości 𝑉 =95, w których stosunek długości dwóch sąsiednich krawędzi podstawy jest równy 23. Wyznacz wymiary tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Schemat rozwiązania

1. Oznaczamy sąsiednie krawędzie podstawy tak, aby od razu spełniały warunek stosunku 23.

2. Z warunku objętości wyznaczamy wysokość prostopadłościanu.

3. Zapisujemy pole powierzchni całkowitej jako funkcję jednej zmiennej.

4. Szukamy minimum tej funkcji dla dodatnich wartości zmiennej.

5. Podstawiamy wynik i obliczamy wymiary oraz najmniejsze pole.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Oznaczamy wymiary podstawy

Stosunek dwóch sąsiednich krawędzi podstawy jest równy 23. Najwygodniej zapisać te krawędzie jako:

2⁢𝑥oraz3⁢𝑥

gdzie 𝑥 >0. Wtedy stosunek tych długości rzeczywiście wynosi:

2⁢𝑥3⁢𝑥=23

Niech wysokość prostopadłościanu będzie równa ℎ.

Krok 2. Korzystamy z objętości

Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów:

𝑉=𝑎⁢𝑏⁢𝑐

W naszym zadaniu:

𝑉=2⁢𝑥⋅3⁢𝑥⋅ℎ

czyli:

𝑉=6⁢𝑥2⁢ℎ

Wiemy, że 𝑉 =95, więc:

6⁢𝑥2⁢ℎ=95

Wyznaczamy ℎ:

ℎ=956⁢𝑥2

ℎ=930⁢𝑥2

ℎ=310⁢𝑥2

Krok 3. Zapisujemy pole powierzchni całkowitej

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 𝑎, 𝑏, ℎ jest równe:

𝑃=2⁢𝑎⁢𝑏+2⁢𝑎⁢ℎ+2⁢𝑏⁢ℎ

U nas 𝑎 =2⁢𝑥, 𝑏 =3⁢𝑥, a ℎ =310⁢𝑥2. Zaczynamy od podstawienia wymiarów:

𝑃⁡(𝑥)=2⋅2⁢𝑥⋅3⁢𝑥+2⋅2⁢𝑥⋅ℎ+2⋅3⁢𝑥⋅ℎ

𝑃⁡(𝑥)=12⁢𝑥2+4⁢𝑥⁢ℎ+6⁢𝑥⁢ℎ

𝑃⁡(𝑥)=12⁢𝑥2+10⁢𝑥⁢ℎ

Teraz podstawiamy wysokość:

𝑃⁡(𝑥)=12⁢𝑥2+10⁢𝑥⋅310⁢𝑥2

𝑃⁡(𝑥)=12⁢𝑥2+3𝑥

Otrzymaliśmy funkcję jednej zmiennej:

𝑃⁡(𝑥)=12⁢𝑥2+3𝑥,𝑥>0

Krok 4. Szukamy minimum funkcji pola

Liczymy pochodną funkcji 𝑃⁡(𝑥):

𝑃′⁡(𝑥)=24⁢𝑥−3𝑥2

Warunek na punkt krytyczny:

𝑃′⁡(𝑥)=0

czyli:

24⁢𝑥−3𝑥2=0

Przenosimy ułamek na drugą stronę:

24⁢𝑥=3𝑥2

Mnożymy obie strony przez 𝑥2, co wolno zrobić, bo 𝑥 >0:

24⁢𝑥3=3

Dzielimy przez 24:

𝑥3=324

𝑥3=18

Stąd:

𝑥=12

Krok 5. Sprawdzamy, że to minimum

Dla 𝑥 >0 druga pochodna wynosi:

𝑃″⁡(𝑥)=24+6𝑥3

Ponieważ 𝑥 >0, mamy 6𝑥3 >0, więc:

𝑃″⁡(𝑥)>0

To oznacza, że funkcja 𝑃⁡(𝑥) ma w tym punkcie minimum.

Krok 6. Obliczamy wymiary prostopadłościanu

Mamy 𝑥 =12, więc krawędzie podstawy są równe:

2⁢𝑥=2⋅12=1

3⁢𝑥=3⋅12=32

Wysokość:

ℎ=310⁢𝑥2

ℎ=310⋅(12)2

ℎ=310⋅14

ℎ=3104

ℎ=352

ℎ=65

Krok 7. Obliczamy najmniejsze pole

Korzystamy z funkcji:

𝑃⁡(𝑥)=12⁢𝑥2+3𝑥

Dla 𝑥 =12:

𝑃⁡(12)=12⋅(12)2+312

𝑃⁡(12)=12⋅14+6

𝑃⁡(12)=3+6

𝑃⁡(12)=9

Gdzie łatwo o błąd?

• Można źle zapisać stosunek krawędzi podstawy. Zapis 2⁢𝑥 i 3⁢𝑥 od razu pilnuje proporcji 23.

• Można potraktować wysokość jako stałą, a ona zależy od 𝑥, bo objętość jest ustalona.

• Można pomylić wzór na pole całkowite i zgubić jedną parę ścian.

• Można policzyć 𝑃′⁡(𝑥) =0, ale nie sprawdzić, czy otrzymany punkt daje minimum.

• Można zapomnieć o warunku 𝑥 >0, który wynika z tego, że długości krawędzi muszą być dodatnie.

Pokaż odpowiedź

Wymiary prostopadłościanu o najmniejszym polu powierzchni całkowitej to:

1,32,65

Najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi:

𝑃min=9

Jak ćwiczyć podobne zadania?

W zadaniach optymalizacyjnych ze stereometrii warto ćwiczyć nie tylko pochodne, ale przede wszystkim moment przejścia od treści do funkcji jednej zmiennej.

1. Najpierw wypisz dane i szukaną wielkość.

2. Oznacz wymiary tak, aby warunki z treści były spełnione od razu.

3. Użyj objętości albo innego warunku, aby wyznaczyć jedną zmienną przez drugą.

4. Zapisz wielkość, którą trzeba zminimalizować albo zmaksymalizować.

5. Policz pochodną i sprawdź, czy otrzymany punkt rzeczywiście daje oczekiwane ekstremum.

W takich zadaniach najtrudniejszy bywa nie rachunek, ale dobre ustawienie pierwszej zmiennej.

UWAGA

Jeśli chcesz spokojnie przećwiczyć podobne zadania, wybieraj przykłady, w których najpierw trzeba ułożyć funkcję z treści. To najlepszy trening przed zadaniami optymalizacyjnymi na maturze.