test 4 planimetria/analityczna

W tym zadaniu najważniejsze jest nie to, żeby od razu liczyć współrzędne punktów styczności. Najpierw trzeba zobaczyć sytuację geometryczną: z punktu zewnętrznego poprowadzono dwie styczne do okręgu, a promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Najpierw sens: mamy okrąg, punkt zewnętrzny i dwie styczne. Dopiero potem wybieramy rachunki.

Treść zadania

Dany jest okrąg o równaniu \( x^2 + 4x + y^2 + 6y - 37 = 0 \). Z punktu \( A=\left(-\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right) \) poprowadzono styczne do okręgu. Punkty \( B \) i \( C \) są punktami wspólnymi tych stycznych i danego okręgu. Oblicz pole trójkąta \( ABC \).

Co trzeba zauważyć?

Punkty \( B \) i \( C \) są punktami styczności. To oznacza, że promienie \( OB \) i \( OC \), gdzie \( O \) jest środkiem okręgu, są prostopadłe odpowiednio do stycznych \( AB \) i \( AC \).

W praktyce dostajemy dwa trójkąty prostokątne: \( AOB \) oraz \( AOC \). Są one symetryczne względem prostej \( AO \). Dzięki temu odcinek \( AO \) jest prostopadły do \( BC \) i przecina \( BC \) w jego środku.

Krok 1. Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej

Zaczynamy od uporządkowania równania okręgu:

\[ x^2 + 4x + y^2 + 6y - 37 = 0 \]

Uzupełniamy kwadraty:

\[ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 \]

\[ y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9 \]

Podstawiamy to do równania:

\[ (x+2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 - 37 = 0 \]

\[ (x+2)^2 + (y+3)^2 = 50 \]

Stąd odczytujemy środek i promień okręgu:

\[ O=(-2,-3) \]

\[ r=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \]

Krok 2. Liczymy odległość punktu A od środka okręgu

Punkt \( A \) ma współrzędne:

\[ A=\left(-\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right) \]

Liczymy długość odcinka \( AO \):

\[ AO=\sqrt{\left(-\frac{9}{2}+2\right)^2+\left(\frac{9}{2}+3\right)^2} \]

Upraszczamy współrzędne różnic:

\[ -\frac{9}{2}+2=-\frac{9}{2}+\frac{4}{2}=-\frac{5}{2} \]

\[ \frac{9}{2}+3=\frac{9}{2}+\frac{6}{2}=\frac{15}{2} \]

Zatem:

\[ AO=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2} \]

\[ AO=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{225}{4}} \]

\[ AO=\sqrt{\frac{250}{4}} \]

\[ AO=\sqrt{\frac{125}{2}}=\frac{5\sqrt{10}}{2} \]

Krok 3. Budujemy trójkąt prostokątny z promieniem i styczną

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Dlatego trójkąt \( AOB \) jest prostokątny przy punkcie \( B \).

W tym trójkącie znamy:

• przeciwprostokątną \( AO=\frac{5\sqrt{10}}{2} \),

• przyprostokątną \( OB=r=5\sqrt{2} \),

• drugą przyprostokątną \( AB \), czyli długość stycznej.

Z twierdzenia Pitagorasa:

\[ AB^2=AO^2-OB^2 \]

\[ AB^2=\left(\frac{5\sqrt{10}}{2}\right)^2-\left(5\sqrt{2}\right)^2 \]

\[ AB^2=\frac{250}{4}-50 \]

\[ AB^2=\frac{125}{2}-50 \]

\[ AB^2=\frac{125}{2}-\frac{100}{2}=\frac{25}{2} \]

\[ AB=\frac{5\sqrt{2}}{2} \]

Krok 4. Wprowadzamy punkt D - środek odcinka BC

Nie musimy wyznaczać współrzędnych punktów \( B \) i \( C \). Wystarczy zauważyć, że trójkąty \( AOB \) i \( AOC \) są przystające: mają wspólną przeciwprostokątną \( AO \), równe promienie \( OB=OC \) i kąty proste przy punktach styczności.

Dlatego punkty \( B \) i \( C \) leżą symetrycznie względem prostej \( AO \). Oznaczmy przez \( D \) punkt przecięcia prostej \( AO \) z odcinkiem \( BC \). Wtedy:

• \( D \) jest środkiem odcinka \( BC \),

• \( AO \perp BC \),

• \( AD \) jest wysokością trójkąta \( ABC \),

• \( BC=2BD \).

Krok 5. Liczymy odcinki AD i BD

W trójkącie prostokątnym \( AOB \) punkt \( D \) jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną \( AO \).

Korzystamy z własności wysokości w trójkącie prostokątnym. Dla przyprostokątnej \( OB \) mamy:

\[ OB^2=AO\cdot OD \]

Podstawiamy dane:

\[ \left(5\sqrt{2}\right)^2=\frac{5\sqrt{10}}{2}\cdot OD \]

\[ 50=\frac{5\sqrt{10}}{2}\cdot OD \]

Stąd:

\[ OD=\frac{50}{\frac{5\sqrt{10}}{2}} \]

\[ OD=\frac{100}{5\sqrt{10}} \]

\[ OD=\frac{20}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10} \]

Teraz liczymy \( AD \):

\[ AD=AO-OD \]

\[ AD=\frac{5\sqrt{10}}{2}-2\sqrt{10} \]

\[ AD=\frac{5\sqrt{10}}{2}-\frac{4\sqrt{10}}{2} \]

\[ AD=\frac{\sqrt{10}}{2} \]

Do pola potrzebujemy jeszcze długości \( BC \). Najpierw policzymy \( BD \). W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną spełnia zależność:

\[ BD^2=AD\cdot OD \]

Podstawiamy:

\[ BD^2=\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot 2\sqrt{10} \]

\[ BD^2=10 \]

\[ BD=\sqrt{10} \]

Skoro \( D \) jest środkiem \( BC \), to:

\[ BC=2BD=2\sqrt{10} \]

Krok 6. Liczymy pole trójkąta ABC

Podstawą trójkąta \( ABC \) może być odcinek \( BC \), a wysokością opuszczoną z punktu \( A \) jest odcinek \( AD \).

Zatem:

\[ P=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD \]

Podstawiamy obliczone długości:

\[ P=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \frac{\sqrt{10}}{2} \]

\[ P=\sqrt{10}\cdot \frac{\sqrt{10}}{2} \]

\[ P=\frac{10}{2}=5 \]

Gdzie najłatwiej o błąd?

• Można zacząć od wyznaczania punktów \( B \) i \( C \), co prowadzi do dłuższych rachunków.

• Można zapomnieć, że promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

• Można pomylić długość \( AO \) z promieniem okręgu.

• Można przyjąć, że \( AD \) jest wysokością, ale nie uzasadnić, dlaczego \( AO \perp BC \).

• Można policzyć \( BD \), a potem zapomnieć, że \( BC=2BD \).

Odpowiedź

Pole trójkąta \( ABC \) wynosi:

\[ \boxed{5} \]

Jak ćwiczyć podobne zadania?

W podobnych zadaniach warto najpierw zatrzymać się przy rysunku i zadać sobie trzy pytania:

1. Gdzie jest środek okręgu i jaki jest promień?

2. Czy pojawia się styczna, czyli promień prostopadły do stycznej?

3. Czy da się policzyć pole z podstawy i wysokości bez wyznaczania wszystkich współrzędnych?

W geometrii analitycznej nie każdy punkt trzeba od razu wyliczać. Czasem najpierw trzeba zobaczyć, które odcinki są prostopadłe i które trójkąty są prostokątne.

UWAGA

Jeśli powtarzasz geometrię analityczną do matury, przećwicz osobno zadania z okręgiem, styczną, odległością punktów i polem trójkąta. To właśnie połączenie kilku prostych faktów najczęściej decyduje o poprawnym rozwiązaniu.