Matura matematyka podstawowa 2026 - odpowiedzi, schematy i rozwiązania krok po kroku

Ten artykuł jest po to, żeby nie tylko sprawdzić odpowiedź, ale zrozumieć drogę do wyniku. Sama litera A, B, C albo D niewiele daje, jeśli uczeń nie wie, dlaczego akurat ta odpowiedź jest poprawna. Dlatego poniżej każde zadanie z matury podstawowej z matematyki 2026 omawiamy spokojnie: odpowiedź, schemat rozwiązania, kroki i miejsce, w którym najłatwiej było o błąd.

To nie jest oficjalny schemat oceniania CKE. To dydaktyczne rozwiązania Taty Lucusia, przygotowane tak, żeby można było wrócić do arkusza jak do materiału powtórkowego.

Najpierw sprawdź, co naprawdę mówi warunek. Dopiero potem wybieraj wzór.

Arkusz maturalny można znaleźć tutaj: matura z matematyki podstawowej 2026 - arkusz PDF.

Odpowiedzi można porównać także tutaj: matura podstawowa matematyka maj 2026 - odpowiedzi.

Jak korzystać z tych rozwiązań?

Najlepiej nie czytać całego artykułu jak listy gotowców. Dużo więcej daje praca w trzech krokach:

1. Najpierw rozwiąż zadanie samodzielnie albo przynajmniej wypisz dane z treści.
2. Potem porównaj swój pierwszy krok ze schematem rozwiązania.
3. Na końcu przeczytaj sekcję „Gdzie łatwo o błąd?”, bo właśnie tam często uciekają punkty.

Zadanie 1 - pierwiastki i potęga o wykładniku ujemnym

Odpowiedź: C, czyli \(3\).

Schemat rozwiązania:

1. Połącz pierwiastki w jeden pierwiastek.
2. Zamień \(2^{-1}\) na \(\frac{1}{2}\).
3. Wykonaj działanie na ułamkach.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ \sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1} = \sqrt{\frac{25}{8}\cdot 2}+\frac{1}{2} \]

\[ \sqrt{\frac{25}{4}}+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}+\frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy potędze \(2^{-1}\). To nie jest \(-2\), tylko \(\frac{1}{2}\).

Zadanie 2 - procent składany

Odpowiedź: B, czyli \(1236\) zł.

Schemat rozwiązania:

1. Oblicz kapitał po dwóch latach z procentem składanym.
2. Odejmij wpłaconą kwotę początkową.

Rozwiązanie krok po kroku:

Kapitał początkowy to \(10000\) zł, a oprocentowanie roczne to \(6\%\), czyli \(0{,}06\).

\[ 10000\cdot 1{,}06^2 = 10000\cdot 1{,}1236 = 11236 \]

Odsetki to różnica między kwotą końcową i początkową:

\[ 11236-10000=1236 \]

Gdzie łatwo o błąd? W policzeniu \(6\%\) dwa razy od kwoty początkowej. W procencie składanym drugi rok liczy się już od powiększonego kapitału.

Zadanie 3 - pierwiastek z pierwiastkiem

Odpowiedź: C, czyli \(5^{\frac{3}{4}}\).

Schemat rozwiązania:

1. Zamień pierwiastki na potęgi.
2. Dodaj wykładniki przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie.
3. Pomnóż wykładniki przy potęgowaniu potęgi.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ \sqrt{5\sqrt{5}} = \left(5\cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \]

\[ 5\cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}} \]

\[ \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}} \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy pominięciu zewnętrznego pierwiastka. On oznacza podniesienie całego wyrażenia do potęgi \(\frac{1}{2}\).

Zadanie 4 - logarytmy

Odpowiedź: B, czyli \(-1\).

Schemat rozwiązania:

1. Użyj własności: różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm z ilorazu.
2. Oblicz, do jakiej potęgi trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(\frac{1}{8}\).

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ \log_{8}4-\log_{8}32 = \log_{8}\left(\frac{4}{32}\right) \]

\[ \frac{4}{32}=\frac{1}{8} \]

\[ \log_{8}\left(\frac{1}{8}\right)=-1 \]

bo:

\[ 8^{-1}=\frac{1}{8} \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy kolejności odejmowania. \(\log_{8}4-\log_{8}32\) daje logarytm z \(\frac{4}{32}\), a nie z \(\frac{32}{4}\).

Zadanie 5 - potęgi i zapis dziesiętny

Odpowiedź: P, P.

Schemat rozwiązania:

1. Zamień \(4^{12}\) na \(\left(2^2\right)^{12}\).
2. Sprowadź iloczyn do potęgi liczby \(10\).
3. Oceń podzielność i liczbę cyfr.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ 4^{12}\cdot 5^{24} = \left(2^2\right)^{12}\cdot 5^{24} \]

\[ \left(2^2\right)^{12}=2^{24} \]

więc:

\[ 2^{24}\cdot 5^{24} = (2\cdot 5)^{24} = 10^{24} \]

Liczba \(10^{24}\) jest podzielna przez \(20\), bo zawiera czynniki \(2\) oraz \(10\).

Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera, czyli ma \(25\) cyfr.

Gdzie łatwo o błąd? W uznaniu, że \(10^{24}\) ma \(24\) cyfry. Ma \(25\) cyfr, bo liczymy też cyfrę \(1\).

Zadanie 6 - wzór skróconego mnożenia

Odpowiedź: A, czyli \(2\).

Schemat rozwiązania:

1. Zauważ, że \(x^2+10x+25\) to \((x+5)^2\).
2. Podstaw \(x=\sqrt{2}-5\).
3. Podnieś wynik do kwadratu.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ x^2+10x+25=(x+5)^2 \]

Dla \(x=\sqrt{2}-5\) mamy:

\[ (x+5)^2 = (\sqrt{2}-5+5)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy bezpośrednim podstawianiu i rozwijaniu nawiasów. Tu najprostsza droga to najpierw rozpoznać kwadrat sumy.

Zadanie 7 - dowód podzielności przez 14

Odpowiedź: Wyrażenie \(7n^2+21n\) jest podzielne przez \(14\) dla każdej liczby całkowitej \(n\).

Schemat rozwiązania:

1. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
2. Pokaż, że jest czynnik \(7\).
3. Pokaż, że pozostały iloczyn jest parzysty.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ 7n^2+21n=7n(n+3) \]

Widać już czynnik \(7\). Trzeba jeszcze pokazać podzielność przez \(2\).

Jeśli \(n\) jest parzyste, to \(n(n+3)\) jest parzyste.

Jeśli \(n\) jest nieparzyste, to \(n+3\) jest parzyste, więc \(n(n+3)\) też jest parzyste.

W każdym przypadku istnieje liczba całkowita \(k\), dla której:

\[ n(n+3)=2k \]

Wtedy:

\[ 7n(n+3)=7\cdot 2k=14k \]

To oznacza, że liczba jest podzielna przez \(14\).

Gdzie łatwo o błąd? W napisaniu tylko \(7n(n+3)\). To pokazuje podzielność przez \(7\), ale jeszcze nie kończy dowodu podzielności przez \(14\).

Zadanie 8 - równanie w postaci iloczynowej

Odpowiedź: C, czyli \(m=5\).

Schemat rozwiązania:

1. Odczytaj rozwiązania z czynników równania.
2. Zapisz sumę rozwiązań.
3. Wyznacz \(m\).

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ 3(x+3)(x-m)(2x+4)=0 \]

Rozwiązania to:

\[ x=-3,\quad x=m,\quad x=-2 \]

Ich suma ma być równa \(0\):

\[ -3+m+(-2)=0 \]

\[ m-5=0 \]

\[ m=5 \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy czynniku \(2x+4\). Daje on \(x=-2\), a nie \(x=2\).

Zadanie 9 - równanie wymierne

Odpowiedź: D, czyli \(12\).

Schemat rozwiązania:

1. Sprawdź, kiedy mianownik nie istnieje.
2. Pomnóż równanie na krzyż.
3. Rozwiąż równanie liniowe.

Rozwiązanie krok po kroku:

Mianownik nie może być równy \(0\):

\[ 3x-1\neq 0 \]

\[ x\neq \frac{1}{3} \]

Rozwiązujemy równanie:

\[ \frac{x+2}{3x-1}=\frac{2}{5} \]

\[ 5(x+2)=2(3x-1) \]

\[ 5x+10=6x-2 \]

\[ -x=-12 \]

\[ x=12 \]

Otrzymana liczba nie jest wykluczona przez warunek, więc rozwiązaniem jest \(12\).

Gdzie łatwo o błąd? W pominięciu dziedziny albo w błędnym mnożeniu na krzyż.

Zadanie 10 - nierówność kwadratowa

Odpowiedź: \(x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup\left[2,\infty\right)\).

Schemat rozwiązania:

1. Przenieś wszystko na jedną stronę.
2. Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.
3. Odczytaj, gdzie parabola jest nad osią albo na osi.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ 3x^2+4x\geq 6x+8 \]

\[ 3x^2+4x-6x-8\geq 0 \]

\[ 3x^2-2x-8\geq 0 \]

\[ \Delta=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-8)=4+96=100 \]

\[ \sqrt{\Delta}=10 \]

\[ x_1=\frac{2-10}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3} \]

\[ x_2=\frac{2+10}{6}=\frac{12}{6}=2 \]

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Dla nierówności \(\geq 0\) wybieramy przedziały zewnętrzne razem z końcami:

\[ x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup\left[2,\infty\right) \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy znaku nierówności. Znak \(\geq\) oznacza, że miejsca zerowe też należą do rozwiązania.

Zadanie 11 - bilety, procenty i równanie

Odpowiedź: Sprzedano \(78\) biletów ulgowych.

Schemat rozwiązania:

1. Zauważ, że \(4665\) zł to \(75\%\) wpływów.
2. Oblicz całkowite wpływy.
3. Ułóż równanie z liczbą biletów ulgowych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Po opłaceniu kosztów w wysokości \(25\%\) wpływów zostało \(75\%\) wpływów.

\[ 0{,}75W=4665 \]

\[ W=\frac{4665}{0{,}75}=6220 \]

Niech \(y\) oznacza liczbę biletów ulgowych. Wtedy liczba biletów normalnych to \(200-y\).

\[ 35(200-y)+25y=6220 \]

\[ 7000-35y+25y=6220 \]

\[ 7000-10y=6220 \]

\[ -10y=-780 \]

\[ y=78 \]

Gdzie łatwo o błąd? W potraktowaniu \(4665\) zł jako całkowitego wpływu. To była kwota po odjęciu kosztów.

Zadanie 12.1 - funkcja przedziałowa

Odpowiedź: \(x=1\) oraz największa wartość w przedziale \([2,3]\) jest równa \(4\).

Schemat rozwiązania:

1. Odczytaj z wykresu, dla jakiego argumentu funkcja ma wartość \(3\).
2. Na przedziale \([2,3]\) sprawdź najwyższy punkt wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Z wykresu widać, że:

\[ f(x)=3 \]

dla:

\[ x=1 \]

W przedziale \([2,3]\) największa wartość występuje dla \(x=2\) i wynosi:

\[ f(2)=4 \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy punkcie \(x=2\). Trzeba zauważyć, który punkt jest zamalowany, a który nie należy do wykresu.

Zadanie 12.2 - zbiór wartości i argumenty funkcji

Odpowiedź: zbiór wartości to \([-2,4]\), a zbiór argumentów, dla których \(f(x)\gt 1\), to \((-1,4)\).

Schemat rozwiązania:

1. Zbiór wartości czytaj z osi \(y\).
2. Argumenty, dla których \(f(x)\gt 1\), czytaj z osi \(x\).
3. Zwróć uwagę na ostre nierówności i końce przedziałów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Najmniejsza wartość funkcji to \(-2\), a największa to \(4\), więc:

\[ Y_f=[-2,4] \]

Funkcja przyjmuje wartości większe od \(1\) dla argumentów od \(-1\) do \(4\), bez końców przedziału.

\[ x\in(-1,4) \]

Gdzie łatwo o błąd? W pomyleniu zbioru argumentów ze zbiorem wartości. Argumenty odczytujemy z osi \(x\), wartości z osi \(y\).

Zadanie 13.1 - funkcja liniowa i znaki współczynników

Odpowiedź: F, F.

Schemat rozwiązania:

1. Sprawdź, czy wykres rośnie czy maleje.
2. Odczytaj, czy punkt przecięcia z osią \(Oy\) leży powyżej czy poniżej zera.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wykres funkcji maleje, więc współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Pierwsze zdanie jest fałszywe.

Wykres przecina oś \(Oy\) poniżej zera, więc wyraz wolny \(b\) jest ujemny. Drugie zdanie też jest fałszywe.

Gdzie łatwo o błąd? W nazywaniu \(a\) i \(b\) wartościami funkcji. To są współczynniki we wzorze funkcji liniowej, nie wartości funkcji.

Zadanie 13.2 - tangens kąta nachylenia prostej

Odpowiedź: A, czyli \(-\frac{3}{2}\).

Schemat rozwiązania:

1. Odczytaj dwa punkty przecięcia wykresu z osiami.
2. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej.
3. Pamiętaj, że tangens kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\) jest równy współczynnikowi kierunkowemu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Z wykresu można odczytać, że prosta przecina osie w punktach:

\[ (-2,0)\quad \text{oraz}\quad (0,-3) \]

Współczynnik kierunkowy:

\[ a=\frac{-3-0}{0-(-2)} \]

\[ a=-\frac{3}{2} \]

Zatem:

\[ \operatorname{tg\alpha=-\frac{3}{2} \]

Gdzie łatwo o błąd? W uznaniu, że tangens musi być dodatni. Dla prostej malejącej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

Zadanie 14 - funkcja kwadratowa i przesunięcie

Odpowiedź: \(f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}\).

Schemat rozwiązania:

1. Zapisz funkcję \(f\) w postaci kanonicznej z wierzchołka.
2. Użyj zależności \(g(x)=f(x+1)\).
3. Skorzystaj z informacji, że \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\).
4. Zamień postać kanoniczną funkcji \(f\) na ogólną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wierzchołek funkcji \(f\) to \(W=(3,-2)\), więc:

\[ f(x)=a(x-3)^2-2 \]

Funkcja \(g\) ma wzór \(g(x)=f(x+1)\), więc:

\[ g(x)=a(x+1-3)^2-2 \]

\[ g(x)=a(x-2)^2-2 \]

Wiemy, że \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), więc \(g(0)=0\).

\[ a(0-2)^2-2=0 \]

\[ 4a-2=0 \]

\[ 4a=2 \]

\[ a=\frac{1}{2} \]

Zatem:

\[ f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2 \]

\[ f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+9)-2 \]

\[ f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{9}{2}-2 \]

\[ f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2} \]

Gdzie łatwo o błąd? W interpretacji zapisu \(f(x+1)\). Najbezpieczniej jest dosłownie wstawić \(x+1\) do wzoru funkcji \(f\).

Zadanie 15 - ciąg i warunek geometryczny

Odpowiedź: \(k=41\).

Schemat rozwiązania:

1. Oblicz \(a_1\) i \(a_9\).
2. Użyj warunku dla trzech wyrazów ciągu geometrycznego.
3. Znajdź indeks \(k\), dla którego \(a_k\) ma obliczoną wartość.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ a_n=3n+5 \]

\[ a_1=3\cdot 1+5=8 \]

\[ a_9=3\cdot 9+5=32 \]

Dla trzech wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi zależność:

\[ a_9^2=a_1\cdot a_k \]

\[ 32^2=8\cdot a_k \]

\[ 1024=8a_k \]

\[ a_k=128 \]

Teraz szukamy \(k\):

\[ 3k+5=128 \]

\[ 3k=123 \]

\[ k=41 \]

Gdzie łatwo o błąd? W pomyleniu \(a_k\) z \(k\). Najpierw liczymy wartość wyrazu, a dopiero potem numer tego wyrazu.

Zadanie 16 - ciąg arytmetyczny

Odpowiedź: B, czyli \(33\).

Schemat rozwiązania:

1. Użyj wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\).
2. Wyznacz różnicę \(r\) z warunku \(a_5=17\).
3. Oblicz \(a_9\).

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ a_5=a_1+4r \]

\[ 17=1+4r \]

\[ 16=4r \]

\[ r=4 \]

\[ a_9=a_1+8r \]

\[ a_9=1+8\cdot 4=33 \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy liczbie różnic między \(a_1\) i \(a_9\). Od pierwszego do dziewiątego wyrazu jest \(8\) kroków różnicy, nie \(9\).

Zadanie 17 - ciąg geometryczny i iloczyny wyrazów

Odpowiedź: \(18\).

Schemat rozwiązania:

1. Zapisz wyrazy ciągu geometrycznego przez iloraz \(q\).
2. Zauważ, że \(a_3\cdot a_6\) ma taki sam iloczyn jak \(a_2\cdot a_7\).

Rozwiązanie krok po kroku:

W ciągu geometrycznym:

\[ a_3=a_2\cdot q \]

oraz:

\[ a_6=\frac{a_7}{q} \]

Wtedy:

\[ a_3\cdot a_6=(a_2\cdot q)\cdot\frac{a_7}{q} \]

\[ a_3\cdot a_6=a_2\cdot a_7 \]

Skoro:

\[ a_3\cdot a_6=18 \]

to:

\[ a_2\cdot a_7=18 \]

Gdzie łatwo o błąd? W próbie liczenia konkretnych wyrazów, mimo że nie ma potrzeby. Wystarczy zauważyć zależność między indeksami.

Zadanie 18 - sinus w trójkącie prostokątnym

Odpowiedź: C, czyli \(\frac{3}{\sqrt{10}}\).

Schemat rozwiązania:

1. Oblicz brakującą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa.
2. Zastosuj definicję sinusa.

Rozwiązanie krok po kroku:

\(AC\) jest przeciwprostokątną, więc:

\[ AB^2+BC^2=AC^2 \]

\[ AB^2+2^2=(2\sqrt{10})^2 \]

\[ AB^2+4=40 \]

\[ AB^2=36 \]

\[ AB=6 \]

Dla kąta \(\gamma\) przy wierzchołku \(C\) bokiem naprzeciwko jest \(AB\).

\[ \sin\gamma=\frac{AB}{AC} \]

\[ \sin\gamma=\frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]

Gdzie łatwo o błąd? W wyborze przyprostokątnej. Sinus to bok naprzeciwko kąta podzielony przez przeciwprostokątną.

Zadanie 19 - kąty wpisane i środkowe

Odpowiedź: C, czyli \(70^\circ\).

Schemat rozwiązania:

1. Użyj zależności między kątem wpisanym i środkowym opartym na tym samym łuku.
2. Odejmij kąt \(COB\) od kąta \(COA\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Kąt \(CDA\) ma miarę \(50^\circ\) i jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AC\).

Kąt środkowy \(COA\) oparty na tym samym łuku ma dwa razy większą miarę:

\[ \angle COA=2\cdot 50^\circ=100^\circ \]

Z rysunku:

\[ \angle COA=\angle COB+\angle BOA \]

\[ 100^\circ=30^\circ+\angle BOA \]

\[ \angle BOA=70^\circ \]

Gdzie łatwo o błąd? Przy zapomnieniu, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Zadanie 20 - podobieństwo trójkątów

Odpowiedź: B, czyli \(9\).

Schemat rozwiązania:

1. Zauważ podobieństwo trójkątów powstałych między prostymi równoległymi.
2. Zapisz proporcję odpowiednich boków.
3. Oblicz \(OD\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Trójkąty \(AOD\) i \(COB\) są podobne.

Odpowiednie boki spełniają proporcję:

\[ \frac{OD}{OB}=\frac{OA}{OC} \]

\[ \frac{OD}{6}=\frac{12}{8} \]

\[ \frac{OD}{6}=\frac{3}{2} \]

\[ OD=6\cdot\frac{3}{2}=9 \]

Gdzie łatwo o błąd? W źle dobranych bokach w proporcji. Trzeba pilnować, które odcinki leżą po tej samej stronie podobnych trójkątów.

Zadanie 21 - dowód ze stosunkiem pól

Odpowiedź: Stosunek pól wynosi \(\frac{a}{b}\).

Schemat rozwiązania:

1. Zauważ, że dwusieczna tworzy dwa równe kąty przy wierzchołku \(M\).
2. Zapisz pola dwóch trójkątów ze wzoru z sinusem.
3. Skróć wspólne czynniki.

Rozwiązanie krok po kroku:

Odcinek \(MN\) jest dwusieczną kąta \(LMK\), więc kąty \(KMN\) i \(NML\) mają tę samą miarę. Oznaczmy tę miarę przez \(\alpha\).

Pole trójkąta \(KNM\):

\[ P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot MN\cdot \sin\alpha \]

\[ P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot MN\cdot \sin\alpha \]

Pole trójkąta \(NLM\):

\[ P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot LM\cdot MN\cdot \sin\alpha \]

\[ P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot MN\cdot \sin\alpha \]

Stosunek pól:

\[ \frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot a\cdot MN\cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2}\cdot b\cdot MN\cdot \sin\alpha} \]

Wspólne czynniki się skracają, więc:

\[ \frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b} \]

Gdzie łatwo o błąd? W próbie liczenia długości \(KN\) i \(NL\), choć nie są podane. Tu wystarczy wzór na pole z sinusem i fakt, że oba kąty są równe.

Zadanie 22 - trójkąt równoboczny wpisany w okrąg

Odpowiedź: Bok trójkąta ma długość \(27\).

Schemat rozwiązania:

1. Użyj wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.
2. Podstaw \(R=9\sqrt{3}\).
3. Wyznacz bok \(a\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Dla trójkąta równobocznego:

\[ R=\frac{a\sqrt{3}}{3} \]

Podstawiamy \(R=9\sqrt{3}\):

\[ 9\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3} \]

Mnożymy przez \(3\):

\[ 27\sqrt{3}=a\sqrt{3} \]

Dzielimy przez \(\sqrt{3}\):

\[ a=27 \]

Gdzie łatwo o błąd? W pomyleniu wzoru na promień okręgu opisanego z promieniem okręgu wpisanego.

Zadanie 23 - trygonometria i tangens

Odpowiedź: D, czyli \(\frac{20}{3}\).

Schemat rozwiązania:

1. Rozdziel ułamek na dwa składniki.
2. Zauważ, że \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha\).
3. Rozwiąż równanie liniowe z \(\tg\alpha\).

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ \frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6 \]

\[ \frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha}+\frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6 \]

\[ \frac{3}{4}\tg\alpha+1=6 \]

\[ \frac{3}{4}\tg\alpha=5 \]

\[ \tg\alpha=5\cdot\frac{4}{3} \]

\[ \tg\alpha=\frac{20}{3} \]

Gdzie łatwo o błąd? W skróceniu całej sumy przez \(\cos\alpha\) bez rozdzielenia ułamka. Suma w liczniku wymaga ostrożności.

Zadanie 24.1 - pole trójkąta w układzie współrzędnych

Odpowiedź: B, czyli \(5\).

Schemat rozwiązania:

1. Wybierz odcinek \(AC\) jako podstawę.
2. Odczytaj jego długość.
3. Weź wysokość jako odległość punktu \(B\) od osi \(Oy\).

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ A=(0,-3),\quad C=(0,2) \]

Odcinek \(AC\) leży na osi \(Oy\), więc:

\[ AC=2-(-3)=5 \]

Punkt \(B=(2,1)\) jest oddalony od osi \(Oy\) o \(2\), więc wysokość wynosi \(2\).

\[ P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5 \]

Gdzie łatwo o błąd? W liczeniu długości wszystkich boków, choć można wybrać prostą podstawę i wysokość.

Zadanie 24.2 - środek okręgu opisanego

Odpowiedź: D, czyli \(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\).

Schemat rozwiązania:

1. Zauważ, że trójkąt jest prostokątny.
2. Środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej.
3. Oblicz środek odcinka \(AC\).

Rozwiązanie krok po kroku:

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątną jest odcinek \(AC\).

\[ A=(0,-3),\quad C=(0,2) \]

Środek odcinka \(AC\):

\[ \left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right) = \left(0,-\frac{1}{2}\right) \]

Gdzie łatwo o błąd? W szukaniu środka ciężkości trójkąta zamiast środka okręgu opisanego.

Zadanie 25 - równanie okręgu

Odpowiedź: P, F.

Schemat rozwiązania:

1. Sprawdź odległość punktu \(A\) od środka \(S\).
2. Porównaj ją z promieniem.
3. Zapisz poprawne równanie okręgu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Dane są:

\[ S=(1,-3),\quad A=(4,-7),\quad r=5 \]

Odległość punktu \(A\) od środka \(S\):

\[ SA=\sqrt{(4-1)^2+(-7-(-3))^2} \]

\[ SA=\sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]

Punkt \(A\) leży na okręgu, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Równanie okręgu o środku \((1,-3)\) i promieniu \(5\) to:

\[ (x-1)^2+(y+3)^2=25 \]

W podanym zdaniu po prawej stronie było \(5\), a powinno być \(25\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

Gdzie łatwo o błąd? W zapisie równania okręgu. Po prawej stronie jest \(r^2\), nie \(r\).

Zadanie 26 - prosta równoległa

Odpowiedź: D, czyli \(\left(0,-\frac{4}{3}\right)\).

Schemat rozwiązania:

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy.
2. Zapisz wzór prostej \(l\) z nieznanym wyrazem wolnym.
3. Podstaw punkt \((2,-2)\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Prosta \(k\) ma równanie:

\[ y=-\frac{1}{3}x+2 \]

Prosta \(l\) jest równoległa, więc ma ten sam współczynnik kierunkowy:

\[ y=-\frac{1}{3}x+b \]

Podstawiamy punkt \((2,-2)\):

\[ -2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b \]

\[ -2=-\frac{2}{3}+b \]

\[ b=-2+\frac{2}{3} \]

\[ b=-\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3} \]

Punkt przecięcia z osią \(Oy\) to:

\[ \left(0,-\frac{4}{3}\right) \]

Gdzie łatwo o błąd? W użyciu punktu \((2,-2)\) jako punktu przecięcia z osią \(Oy\). Punkt przecięcia z osią \(Oy\) zawsze ma \(x=0\).

Zadanie 27 - ostrosłup prawidłowy czworokątny

Odpowiedź: \(V=128\).

Schemat rozwiązania:

1. Oblicz pole podstawy z przekątnej kwadratu.
2. Wyznacz wysokość ostrosłupa z trójkąta prostokątnego.
3. Oblicz objętość ze wzoru \(V=\frac{1}{3}P_pH\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podstawą jest kwadrat o przekątnej:

\[ d=8\sqrt{3} \]

Pole kwadratu z przekątnej:

\[ P_p=\frac{d^2}{2} \]

\[ P_p=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{64\cdot 3}{2} = 96 \]

Połowa przekątnej podstawy ma długość:

\[ \frac{d}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3} \]

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi \(30^\circ\). W trójkącie prostokątnym:

\[ \tg 30^\circ=\frac{H}{4\sqrt{3}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \]

\[ H=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=4 \]

Objętość:

\[ V=\frac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=128 \]

Gdzie łatwo o błąd? Wzięcie całej przekątnej zamiast połowy przekątnej podstawy do trójkąta z wysokością ostrosłupa.

Zadanie 28 - stosunek objętości stożka i walca

Odpowiedź: D, czyli \(\frac{4}{3}\).

Schemat rozwiązania:

1. Zapisz wzory na objętość stożka i walca.
2. Oznacz promień walca przez \(r\).
3. Promień stożka będzie wtedy równy \(2r\).
4. Podziel objętości.

Rozwiązanie krok po kroku:

Niech promień walca będzie równy \(r\), a wysokość obu brył \(H\).

Promień stożka jest dwa razy większy, więc wynosi:

\[ 2r \]

Objętość stożka:

\[ V_s=\frac{1}{3}\pi(2r)^2H \]

\[ V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot 4r^2H = \frac{4}{3}\pi r^2H \]

Objętość walca:

\[ V_w=\pi r^2H \]

Stosunek:

\[ \frac{V_s}{V_w} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^2H}{\pi r^2H} = \frac{4}{3} \]

Gdzie łatwo o błąd? W zapomnieniu, że promień jest podnoszony do kwadratu. Podwojenie promienia daje czterokrotnie większe pole podstawy.

Zadanie 29 - kombinatoryka i liczby nieparzyste

Odpowiedź: A, czyli \(6\cdot 7\cdot 3\).

Schemat rozwiązania:

1. Policz możliwości dla cyfry setek.
2. Policz możliwości dla cyfry dziesiątek.
3. Policz możliwości dla cyfry jedności, pamiętając o nieparzystości.

Rozwiązanie krok po kroku:

Dostępne cyfry to:

\[ 0,1,2,3,4,5,6 \]

Cyfra setek nie może być zerem, więc mamy \(6\) możliwości.

Cyfra dziesiątek może być dowolna z \(7\) cyfr.

Cyfra jedności musi być nieparzysta, więc może być jedną z cyfr:

\[ 1,3,5 \]

To daje \(3\) możliwości.

Razem:

\[ 6\cdot 7\cdot 3 \]

Gdzie łatwo o błąd? W dopuszczeniu zera na miejscu setek. Wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa.

Zadanie 30 - prawdopodobieństwo i podzielność przez 6

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{9}{25}\).

Schemat rozwiązania:

1. Policz liczbę wszystkich możliwych liczb dwucyfrowych.
2. Użyj warunku podzielności przez \(6\).
3. Policz przypadki sprzyjające i zapisz prawdopodobieństwo.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zbiory cyfr to:

\[ X=\{1,3,5,7,9\} \]

\[ Y=\{0,2,4,6,8\} \]

Liczba wszystkich możliwości:

\[ |\Omega|=5\cdot 5=25 \]

Liczba ma być podzielna przez \(6\), czyli przez \(2\) i przez \(3\).

Cyfra jedności pochodzi ze zbioru \(Y\), więc każda otrzymana liczba jest parzysta. Trzeba jeszcze sprawdzić podzielność przez \(3\), czyli sumę cyfr.

Sprzyjające liczby to:

• \(12,18\),
• \(30,36\),
• \(54\),
• \(72,78\),
• \(90,96\).

Jest ich \(9\).

\[ P(A)=\frac{9}{25} \]

Gdzie łatwo o błąd? W sprawdzeniu tylko parzystości. Podzielność przez \(6\) wymaga też podzielności przez \(3\).

Zadanie 31 - średnia i mediana z diagramów

Odpowiedź: P, P.

Schemat rozwiązania:

1. Oblicz średnią ocen w klasie IV A.
2. Oblicz medianę w klasie IV A.
3. Powtórz to samo dla klasy IV B.
4. Porównaj wyniki.

Rozwiązanie krok po kroku:

Dla klasy IV A liczba uczniów wynosi:

\[ 1+6+3+3+6+1=20 \]

Suma ocen:

\[ 1\cdot 1+6\cdot 2+3\cdot 3+3\cdot 4+6\cdot 5+1\cdot 6=70 \]

Średnia:

\[ \frac{70}{20}=3{,}5 \]

Przy \(20\) uczniach mediana to średnia z \(10\). i \(11\). wyniku. W klasie IV A \(10\). ocena to \(3\), a \(11\). ocena to \(4\), więc mediana wynosi:

\[ \frac{3+4}{2}=3{,}5 \]

Dla klasy IV B liczba uczniów także wynosi \(20\).

Suma ocen:

\[ 1\cdot 1+3\cdot 2+6\cdot 3+6\cdot 4+3\cdot 5+1\cdot 6=70 \]

Średnia:

\[ \frac{70}{20}=3{,}5 \]

W klasie IV B \(10\). ocena to \(3\), a \(11\). ocena to \(4\), więc mediana też wynosi:

\[ 3{,}5 \]

Oba zdania są prawdziwe.

Gdzie łatwo o błąd? W liczeniu mediany bez uporządkowania danych albo bez uwzględnienia liczby uczniów z diagramu.

Zadanie 32 - średnia arytmetyczna dwóch grup

Odpowiedź: C, czyli \(4\).

Schemat rozwiązania:

1. Zamień średnią pierwszych trzech liczb na ich sumę.
2. Zamień średnią czterech kolejnych liczb na ich sumę.
3. Dodaj sumy i podziel przez \(7\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Średnia liczb \(a,b,c\) wynosi \(2\), więc:

\[ \frac{a+b+c}{3}=2 \]

\[ a+b+c=6 \]

Średnia liczb \(d,e,f,g\) wynosi \(5{,}5\), więc:

\[ \frac{d+e+f+g}{4}=5{,}5 \]

\[ d+e+f+g=22 \]

Suma wszystkich siedmiu liczb to:

\[ 6+22=28 \]

Średnia siedmiu liczb:

\[ \frac{28}{7}=4 \]

Gdzie łatwo o błąd? W policzeniu średniej z dwóch średnich: \(\frac{2+5{,}5}{2}\). Tak nie można, bo grupy mają różną liczbę elementów.

Zadanie 33.1 - funkcja kwadratowa w ruchu piłeczki

Odpowiedź: D, czyli \(t=3\) s.

Schemat rozwiązania:

1. Zauważ, że piłeczka uderza w ziemię, gdy \(h(t)=0\).
2. Rozwiąż równanie kwadratowe przez wyłączenie wspólnego czynnika.
3. Odrzuć chwilę startu \(t=0\) jako odpowiedź na pytanie o pierwsze uderzenie w ziemię.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t \]

Szukamy momentu, gdy:

\[ h(t)=0 \]

\[ -4{,}9t^2+14{,}7t=0 \]

Wyłączamy \(-4{,}9t\) przed nawias:

\[ -4{,}9t(t-3)=0 \]

Stąd:

\[ t=0\quad \text{lub}\quad t=3 \]

\(t=0\) to moment wyrzucenia piłeczki. Pierwsze uderzenie o ziemię nastąpi po \(3\) sekundach.

Gdzie łatwo o błąd? W wybraniu \(t=0\). To poprawne miejsce zerowe funkcji, ale nie jest odpowiedzią na pytanie o uderzenie po wyrzuceniu.

Zadanie 33.2 - największa wysokość i wierzchołek paraboli

Odpowiedź: A, czyli \(t=1{,}5\) s.

Schemat rozwiązania:

1. Zauważ, że funkcja \(h(t)\) jest funkcją kwadratową z ramionami skierowanymi w dół.
2. Największa wysokość jest w wierzchołku paraboli.
3. Oblicz współrzędną \(t\) wierzchołka.

Rozwiązanie krok po kroku:

\[ h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t \]

Współczynniki to:

\[ a=-4{,}9,\quad b=14{,}7 \]

Współrzędna \(t\) wierzchołka:

\[ t=\frac{-b}{2a} \]

\[ t=\frac{-14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)} \]

\[ t=\frac{-14{,}7}{-9{,}8}=1{,}5 \]

Piłeczka osiąga największą wysokość po \(1{,}5\) sekundy.

Gdzie łatwo o błąd? W szukaniu największej wysokości przez podstawianie odpowiedzi bez zauważenia, że chodzi o wierzchołek paraboli.

Co warto przećwiczyć po tym arkuszu?

Ten arkusz dobrze pokazuje, że do matury trzeba ćwiczyć nie tylko same wzory, ale też wybór pierwszego kroku. Po rozwiązaniu zadań warto wrócić szczególnie do tych tematów:

• pierwiastki, potęgi i logarytmy,
• procent składany i zadania z treścią,
• równania wymierne i warunki na mianownik,
• nierówności kwadratowe,
• odczytywanie wykresów funkcji,
• funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej,
• ciągi arytmetyczne i geometryczne,
• trygonometria w trójkącie prostokątnym,
• kąty w okręgu, podobieństwo i dowody geometryczne,
• geometria analityczna i równanie okręgu,
• stereometria,
• prawdopodobieństwo i statystyka.

Podsumowanie

Najważniejszy wniosek z tego arkusza jest prosty: wiele zadań dało się rozwiązać standardowo, ale tylko wtedy, gdy maturzysta spokojnie przeczytał warunek. Punkty mogły uciekać przez jeden znak, jeden źle odczytany przedział, pominięcie dziedziny albo zbyt szybkie podstawienie do wzoru.

Na maturze z matematyki dobry wynik często zaczyna się nie od liczenia, ale od zatrzymania się na treści zadania.

Jeśli przygotowujesz się do matury, wróć do zadań, w których nie błąd rachunkowy był problemem, ale pierwszy krok. To właśnie takie zadania najlepiej przerobić jeszcze raz na spokojnie, najlepiej z podobną kartą pracy i krótką notatką: „co trzeba zauważyć?”.